Meek verbrachte seine Kindheit in Glasgow. Bereits als achtjähriger hatte er sein Debut am dortigen "Royal Theatre". Als Theaterschauspieler führten ihn Tourneen bis nach Australien. Mit einer Akrobatentruppe kam er schließlich nach Kanada. Seit 1894 war er in den USA ansässig. Als Bühnendarsteller hatte er dort 35 Jahre lang eine weithin unbeachtete Karriere. Wie viele andere Theaterschauspieler auch, wechselte er nach dem Aufkommen des Tonfilms nach Hollywood. Dort machte der kleingewachsene, schmächtige und kahlköpfige Akteur schnell Karriere, wobei sein "Charakterkopf" zu seinem Markenzeichen wurde. Er verkörperte meist "mausgraue, quirlig-zänkische, feige oder ängstlich-wuselige Beamtenfiguren, mal komisch, mal bösartig" (Weniger). Die Jahre 1938/39 wurden zum Höhepunkt seiner Filmkarriere, als er in drei Filmklassikern mitwirkte: in dem Western Stagecoach (Ringo/Höllenfahrt nach Santa Fe) von John Ford verkörperte er den ängstlichen Schnapsvertreter Samuel Peacock; in einem anderen Westernklassiker, "Jesse James-Mann ohne Gesetz" von Henry King spielt er den schurkischen Eisenbahn-Manager, der Kopfgeld auf die James-Brüder aussetzt; schließlich stellte er in dem Frank Capra Film "You can't take it with you (Lebenskünstler)" den Mr. Poppins, Erfinder von Spielzeug und Partymasken.